Matematică Trigonometrie
Distante si unghiuri in spatiu clasa 10
Distanțele și unghiurile în spațiu în clasa a 10-a se referă la geometrie în trei dimensiuni. Ele implică calculul distanței dintre puncte, drepte și plane, precum și măsurarea unghiurilor dintre acestea. Se folosesc coordonate și vectori.
Distanțe în spațiu
- Distanța dintre două puncte Formula: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]. Exemplu: A(1,2,3), B(4,6,9): d = √[(4-1)²+(6-2)²+(9-3)²] = √[9+16+36] = √61.
- Distanța de la un punct la un plan Pentru planul ax+by+cz+d=0 și punctul P(x₀,y₀,z₀): distanța = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²).
- Distanța dintre două drepte Pentru drepte paralele, se calculează ca distanța de la un punct de pe o dreaptă la cealaltă. Pentru necoplanare, se folosește produsul mixt al vectorilor.
Unghiuri în spațiu
- Unghiul dintre două drepte Cosinusul unghiului dintre vectorii directori u și v: cosθ = |u·v| / (|u|·|v|). Exemplu: u(1,0,0), v(0,1,0) → cosθ=0, deci θ=90°.
- Unghiul dintre o dreaptă și un plan Este complementul unghiului dintre dreaptă și normala la plan. Sinusul unghiului dintre vectorul director al dreptei și vectorul normal la plan: sinφ = |u·n| / (|u|·|n|).
- Unghiul dintre două plane Este unghiul dintre vectorii lor normali n₁ și n₂. Cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|).
Exersează cu probleme care implică coordonate în sistemul xOyZ și verifică perpendicularitatea prin produs scalar zero.