Matematică Probabilități și statistică
Proprietatile coeficientilor binomiali
Proprietățile coeficienților binomiali descriu relații matematice utile în calcule combinatorice. Acestea includ simetria, formula de recurență și suma coeficienților. Coeficienții binomiali C(n,k) apar în dezvoltarea binomului (a+b)^n.
Proprietăți de bază
- Simetria C(n,k) = C(n,n-k). Exemplu: C(7,3) = C(7,4) = 35.
- Formula de recurență C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). Aceasta este baza triunghiului lui Pascal.
- Valoarea la capete C(n,0) = C(n,n) = 1, pentru orice n natural.
Aplicații practice
- Triunghiul lui Pascal Fiecare număr este suma celor două de deasupra, corespunzând formulei de recurență.
- Suma coeficienților Suma C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n. Pentru n=4, suma este 1+4+6+4+1=16=2^4.
- Binomul lui Newton (a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n-k) b^k, pentru k de la 0 la n.
Folosește proprietatea de simetrie pentru a simplifica calculele când k este mare.