Matematică Probabilități și statistică
Densitatea de probabilitate exemple
Densitatea de probabilitate descrie distribuția unei variabile aleatoare continue, arătând probabilitatea pe unitate de măsură. Probabilitatea pe un interval se calculează ca aria de sub graficul densității pe acel interval. De exemplu, distribuția normală are o densitate în formă de clopot.
Proprietăți fundamentale
- Definiția matematică Pentru o variabilă continuă X, funcția de densitate f(x) ≥ 0 pentru orice x, iar integrala pe întreg domeniul este 1.
- Calculul probabilității P(a ≤ X ≤ b) = integrala de la a la b din f(x)dx. Pentru distribuția uniformă pe [0,2], f(x)=0,5, P(0,5≤X≤1,5)=0,5.
- Diferența față de variabile discrete Pentru variabile continue, P(X=x)=0 pentru orice x specific, spre deosebire de variabilele discrete unde probabilitățile se adună la 1.
Exemple comune
- 1 Pasul 1: Distribuția uniformă f(x)=1/(b-a) pentru x în [a,b], altfel 0. Timpul de așteptare la autobuz între 0 și 10 minute are densitate 0,1.
- 2 Pasul 2: Distribuția normală f(x)=[1/(σ√(2π))]×e^(-(x-μ)²/(2σ²)). Pentru μ=0, σ=1 (standard), densitatea în 0 este aproximativ 0,399.
- 3 Pasul 3: Distribuția exponențială f(x)=λe^(-λx) pentru x≥0. Timpul dintre sosirile clienților cu λ=2 clienți/oră are densitate 2e^(-2x).
Pentru variabile continue, gândește întotdeauna în termeni de arii, nu de valori individuale.