Matematică Geometrie
Volumul corpurilor de rotatie formula
Volumul unui corp de rotație se calculează cu formula integrală V = π ∫[a,b] [f(x)]² dx, când rotim graficul funcției f(x) în jurul axei Ox pe intervalul [a,b]. Această formulă se bazează pe suma volumelor unor cilindri foarte subțiri.
Formule pentru diferite axe de rotație
- Rotație în jurul axei Ox V = π ∫[a,b] [f(x)]² dx, unde f(x) ≥ 0.
- Rotație în jurul axei Oy V = π ∫[c,d] [g(y)]² dy, unde x = g(y) este funcția inversă, sau folosim metoda inelelor: V = 2π ∫[a,b] x·f(x) dx.
- Rotație între două curbe Dacă rotim aria dintre f(x) și g(x) (cu f(x) ≥ g(x) ≥ 0) în jurul Ox: V = π ∫[a,b] ([f(x)]² - [g(x)]²) dx.
Exemplu numeric
- 1 Pasul 1 Fie f(x) = x², rotită în jurul Ox pe [0,2]. Volumul: V = π ∫[0,2] (x²)² dx = π ∫[0,2] x⁴ dx.
- 2 Pasul 2 Calculează integrala: ∫ x⁴ dx = x⁵/5, deci de la 0 la 2: (2⁵/5) - (0⁵/5) = 32/5.
- 3 Pasul 3 V = π × 32/5 = 32π/5 ≈ 20.1 unități cubice.
Asigură-te că funcția este nenegativă pe interval când aplici formula standard pentru rotație în jurul Ox.