Matematică Geometrie
Teorema lui Weierstrass continuitate
Teorema lui Weierstrass afirmă că o funcție continuă pe un interval închis și mărginit atinge maximum și minimum global. Aceasta garantează existența valorilor extreme fără a le calcula explicit.
Condiții și enunț
- Ipotezele teoremei Funcția f trebuie să fie continuă pe un interval [a,b] și intervalul trebuie să fie închis și mărginit. Exemplu: f(x)=x² pe [-1,2] este continuă și intervalul este închis.
- Concluzia teoremei Există punctele c și d în [a,b] astfel încât f(c) este valoarea minimă și f(d) este valoarea maximă a funcției pe interval. Pentru f(x)=x² pe [-1,2], minimul este f(0)=0 și maximul este f(2)=4.
- Contraexemplu dacă condițiile nu sunt îndeplinite Funcția f(x)=1/x pe (0,1] nu este continuă pe un interval închis (0 nu este inclus) și nu atinge un minim; valorile tind la infinit când x→0.
Aplicații și exemple
- 1 Identificarea intervalului Asigură-te că intervalul este de forma [a,b] cu a și b numere reale finite. Exemplu: [0,3] este închis și mărginit.
- 2 Verificarea continuității Verifică dacă funcția este continuă pe tot intervalul; discontinuitățile invalidează teorema. Pentru f(x)=sin(x) pe [0,π], este continuă.
- 3 Găsirea valorilor extreme Teorema nu dă metoda de calcul, dar garantează existența. Pentru f(x)=x³-3x pe [-2,2], este continuă, deci are maxim și minim; se pot găsi derivând: f'(x)=3x²-3, punctele critice x=±1, cu valori f(-1)=2 (maxim local) și f(1)=-2 (minim local), iar la capete f(-2)=-2 și f(2)=2.
Când aplici teorema, verifică întotdeauna continuitatea funcției și faptul că intervalul este închis și mărginit pentru a garanta extremele.