Matematică Geometrie
Siruri de numere limite si exemple de convergenta
Limita unui șir de numere este valoarea către care tind termenii șirului când indicele crește la infinit. Un șir este convergent dacă are limită finită. De exemplu, șirul a_n = 1/n are limita 0.
Definiția limitei
- Limita finită Un șir (a_n) are limita L dacă pentru orice ε > 0 există N astfel încât |a_n - L| < ε pentru n > N.
- Șir convergent Dacă L este finit, șirul converge. Dacă L este infinit sau nu există, șirul este divergent.
- Exemplu numeric Pentru a_n = (n+1)/n, limita este 1 deoarece (n+1)/n = 1 + 1/n → 1.
Exemple de convergență
- Șir geometric a_n = q^n converge la 0 dacă |q| < 1, la 1 dacă q = 1, și diverge altfel.
- Șir armonic a_n = 1/n converge la 0, deși scade lent.
- Șir alternant a_n = (-1)^n/n converge la 0, deși termenii alternează semnul.
Verifică convergența calculând limita cu definiția sau reguli operaționale.