Matematică Geometrie
Serii numerice criterii de convergenta
Seriile numerice sunt sume infinite de termeni, iar criteriile de convergență sunt teste pentru a determina dacă suma are o valoare finită. Exemple includ criteriul raportului, criteriul rădăcinii și criteriul comparației.
Definiție și tipuri
- Serie numerică O serie ∑a_n este suma termenilor unui șir (a_n), unde n merge de la 1 la infinit.
- Convergență O serie converge dacă șirul sumelor parțiale are limită finită; altfel, diverge.
Criterii comune de convergență
- Criteriul raportului (d'Alembert) Pentru a_n > 0, calculează L = lim (a_{n+1}/a_n). Dacă L < 1, converge; L > 1, diverge; L = 1, nedecis.
- Criteriul rădăcinii (Cauchy) Pentru a_n ≥ 0, calculează L = lim √[n](a_n). Dacă L < 1, converge; L > 1, diverge; L = 1, nedecis.
- Criteriul comparației Compară cu o serie cunoscută: dacă 0 ≤ a_n ≤ b_n și ∑b_n converge, atunci ∑a_n converge; dacă a_n ≥ b_n ≥ 0 și ∑b_n diverge, atunci ∑a_n diverge.
Exemplu de aplicare
- 1 Serie dată ∑ (1/n²) de la n=1 la infinit.
- 2 Aplicarea criteriului comparației Compară cu ∑ (1/n), care diverge (seria armonică). Dar 1/n² ≤ 1/n pentru n≥1, deci nu se poate concluziona direct; se știe că ∑ (1/n²) converge (seria lui Basel).
- 3 Verificare cu criteriu Folosește criteriul comparației cu o serie convergentă mai mare, de exemplu, ∑ (1/(n(n+1))) care converge, pentru a demonstra convergența.
Începe întotdeauna prin a verifica dacă termenul general tinde la zero; dacă nu, seria diverge cu siguranță.