Matematică Geometrie
Media dispersia variabilelor aleatoare
Media unei variabile aleatoare măsoară valoarea așteptată, iar dispersia măsoară împrăștierea valorilor în jurul mediei. Pentru o variabilă discretă X, media E(X) = Σ x × P(X=x), iar dispersia Var(X) = Σ (x - E(X))² × P(X=x).
Calcul pentru variabile discrete
- 1 Exemplu: zar corect Fie X rezultatul unui zar. Valorile posibile: 1,2,3,4,5,6, fiecare cu probabilitatea 1/6.
- 2 Media E(X) E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 21/6 = 3.5.
- 3 Dispersia Var(X) Var(X) = (1-3.5)²×(1/6) + (2-3.5)²×(1/6) + ... + (6-3.5)²×(1/6) = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25)/6 = 17.5/6 ≈ 2.917.
- 4 Abaterea standard σ = √Var(X) = √2.917 ≈ 1.708, măsoară răspândirea în unități originale.
Proprietăți importante
- Liniaritatea mediei E(aX + b) = aE(X) + b, pentru constante a și b. De exemplu, dacă E(X)=3, atunci E(2X+1)=2×3+1=7.
- Dispersia și constantele Var(aX + b) = a²Var(X). Constanta b nu afectează dispersia. De exemplu, dacă Var(X)=4, atunci Var(3X+5)=9×4=36.
- Formula alternativă Var(X) = E(X²) - [E(X)]². Pentru zar, E(X²)=91/6≈15.167, deci Var(X)=15.167 - (3.5)²=15.167-12.25=2.917.
Pentru exerciții, calculează întâi media, apoi dispersia folosind formula Var(X) = E(X²) - [E(X)]² pentru eficiență.