Matematică Geometrie
Formula ariei unui poligon cu coordonate
Aria unui poligon cu vârfurile date prin coordonate carteziene (x_i, y_i) se calculează cu formula lui Gauss sau formula determinantului. Aceasta presupune sumarea produselor coordonatelor în ordine ciclică. Formula funcționează pentru orice poligon simplu, convex sau concav.
Formula de bază
- Formula determinantului Aria = 1/2 | Σ (x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i) |, unde suma este pentru i de la 1 la n, iar x_{n+1}=x_1, y_{n+1}=y_1. Modulul asigură o arie pozitivă.
- Explicația termenilor x_i, y_i sunt coordonatele vârfului i. Produsele x_i*y_{i+1} și x_{i+1}*y_i reprezintă contribuții la arie din triunghiuri formate cu originea.
- Condiții de aplicare Poligonul trebuie să fie simplu (laturile nu se intersectează). Vârfurile sunt date în ordine trigonometrică (invers acelor de ceasornic) pentru a obține arie pozitivă direct.
Exemplu de calcul
- 1 Pasul 1: Scrieți coordonatele Fie un triunghi cu vârfurile A(1,2), B(4,5), C(6,1). Ordinea: A, B, C, apoi revenim la A.
- 2 Pasul 2: Aplicați formula Calcul: (1*5 + 4*1 + 6*2) - (2*4 + 5*6 + 1*1) = (5+4+12) - (8+30+1) = 21 - 39 = -18.
- 3 Pasul 3: Determinați aria Aria = 1/2 * | -18 | = 9 unități pătrate. Semnul negativ indică ordinea acelor de ceasornic, dar modulul dă aria corectă.
Pentru poligoane mari, organizați calculul într-un tabel pentru a evita erorile. Verificați ordinea vârfurilor pentru semnul corect al ariei.