Matematică Alte teme
Valori proprii si vectori proprii cum se calculeaza clasa 11
Valorile proprii și vectorii proprii ai unei matrice pătrate A sunt scalari λ și vectori nenuli v astfel încât A·v = λ·v. Se calculează rezolvând ecuația caracteristică.
Pași de calcul
- 1 Pasul 1: Scrie ecuația caracteristică Calculează det(A - λ·I) = 0, unde I este matricea identitate. Aceasta este o ecuație polinomială în λ.
- 2 Pasul 2: Rezolvă pentru valori proprii Găsește rădăcinile ecuației caracteristice. Acestea sunt valorile proprii λ1, λ2, ...
- 3 Pasul 3: Determină vectorii proprii Pentru fiecare λ, rezolvă sistemul liniar (A - λ·I)·v = 0. Soluțiile nenule sunt vectorii proprii asociați.
- 4 Pasul 4: Verifică Înlocuiește v în A·v pentru a verifica dacă obții λ·v.
Exemplu numeric
- Matricea A Fie A = [[2, 1], [1, 2]]. Calculăm A - λI = [[2-λ, 1], [1, 2-λ]].
- Ecuația caracteristică det(A - λI) = (2-λ)^2 - 1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0. Rădăcinile: λ1 = 1, λ2 = 3.
- Vectorii proprii Pentru λ1=1: (A - I)v = 0 dă sistemul x + y = 0, deci v1 = (1, -1). Pentru λ2=3: -x + y = 0, deci v2 = (1, 1).
Asigură-te că vectorii proprii sunt nenuli și liniar independenți pentru valori proprii distincte.