Matematică Alte teme
Transformari liniare aplicatii
O transformare liniară este o funcție T: V → W între spații vectoriale peste același corp, care păstrează adunarea și înmulțirea cu scalar. Aplicațiile includ reprezentarea geometrică și rezolvarea sistemelor liniare.
Proprietăți și exemple
- Definiție formală T(u+v) = T(u) + T(v) și T(αu) = α T(u) pentru orice u,v ∈ V și scalar α. Exemplu: T: ℝ^2 → ℝ^2, T(x,y) = (2x, y-x) este liniară.
- Nucleu și imagine Nucleul Ker(T) = {v ∈ V : T(v) = 0} este subspațiu în V. Imaginea Im(T) = {T(v) : v ∈ V} este subspațiu în W.
- Teorema rangului dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V). Exemplu: pentru T: ℝ^3 → ℝ^2, T(x,y,z) = (x+y, z), dim(Ker)=1, dim(Im)=2, suma 3 = dim(ℝ^3).
Aplicații practice
- Rotații și scalări În ℝ^2, rotația cu unghi θ: T(x,y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ) este transformare liniară. Matricea asociată este [[cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ]].
- Sisteme de ecuații Un sistem Ax = b poate fi văzut ca T(x) = b, unde T este transformarea liniară asociată matricei A. Soluțiile formează nucleul dacă b=0.
- Proiecții Proiecția pe axa Ox în ℝ^2: T(x,y) = (x,0). Aceasta este liniară și are nucleul format din vectorii de forma (0,y).
Pentru a verifica liniaritatea, testează cele două proprietăți cu vectori arbitrari și scalari.