Matematică Alte teme
Subgrupuri normale si grup factor
Un subgrup normal al unui grup G este un subgrup H astfel încât pentru orice g ∈ G, gH = Hg. Grupul factor G/H este mulțimea claselor de echivalență definite de H, cu operația indusă de la G.
Definiții și condiții
- Subgrup normal H este normal dacă pentru orice h ∈ H și g ∈ G, avem g h g^{-1} ∈ H. Exemplu: în grupul simetric S_3, subgrupul altern A_3 este normal.
- Grup factor Elementele lui G/H sunt clasele laterale gH. Operația este (gH)(kH) = (gk)H. Exemplu: ℤ/nℤ, grupul claselor de resturi modulo n.
- Criterii de normalitate H este normal dacă este nucleul unui omomorfism. Sau, dacă indexul [G:H] = 2, atunci H este normal.
Exemple și aplicații
- Exemplu: grupul aditiv al întregilor În (ℤ, +), subgrupul nℤ este normal. Grupul factor ℤ/nℤ are n elemente: clasele 0,1,...,n-1. Operația este adunarea modulo n.
- Grupul diedral În D_4 (simetriile pătratului), subgrupul rotațiilor este normal. Grupul factor are două elemente, corespunzând rotațiilor și reflexiilor.
- Teorema fundamentală de izomorfism Dacă φ: G → K este omomorfism, atunci G/Ker(φ) ≅ Im(φ). Exemplu: φ: ℤ → ℤ_n, φ(k)=k mod n, dă ℤ/nℤ ≅ ℤ_n.
Pentru a verifica dacă un subgrup este normal, calculează g h g^{-1} pentru generatori.