Matematică Alte teme
Structuri algebrice grup definitie
Un grup este o structură algebrică formată dintr-o mulțime G și o operație binară asociativă care are element neutru și fiecare element are invers. Această structură apare în multe domenii matematice și fizice. Grupurile clasifică simetriile și transformările.
Definiția formală
- Mulțime și operație Fie G o mulțime nevidă și * o operație binară pe G (adică *: G × G → G).
- Asociativitatea Pentru orice a, b, c din G, (a * b) * c = a * (b * c).
- Element neutru Există e în G astfel încât pentru orice a din G, a * e = e * a = a.
- Element invers Pentru orice a din G, există a' în G astfel încât a * a' = a' * a = e.
Exemple de grupuri
- Grupul aditiv al numerelor întregi (ℤ, +) cu element neutru 0 și inversul lui a este -a.
- Grupul multiplicativ al numerelor reale nenule (ℝ*, ·) cu element neutru 1 și inversul lui a este 1/a.
- Grupul simetric S₃ Mulțimea permutărilor a 3 elemente cu compunerea funcțiilor.
Verifică cele patru proprietăți pentru a demonstra că o structură este grup.