Matematică Alte teme
Regula lui Cramer demonstratie
Regula lui Cramer ofera o metoda de rezolvare a sistemelor liniare cu n ecuatii si n necunoscute, folosind determinanti. Ea spune ca fiecare necunoscuta xᵢ = Δᵢ / Δ, unde Δ este determinantul sistemului si Δᵢ este determinantul obtinut prin inlocuirea coloanei i cu termenii liberi.
Conditii de aplicare
- Sistem patratic Numarul de ecuatii egal cu numarul de necunoscute.
- Determinant nenul Δ ≠ 0, altfel regula nu se aplica si sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat.
- Exemplu pentru n=2 Pentru sistemul a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂, Δ = a₁b₂ - a₂b₁.
Demonstratie pentru n=2
- 1 Scrieti sistemul a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂.
- 2 Calculati Δ, Δₓ, Δᵧ Δ = a₁b₂ - a₂b₁, Δₓ = c₁b₂ - c₂b₁ (inlocuind coloana lui x), Δᵧ = a₁c₂ - a₂c₁ (inlocuind coloana lui y).
- 3 Aratati ca x = Δₓ/Δ, y = Δᵧ/Δ Din proprietatile determinatilor, rezolvand sistemul prin metoda substitutiei sau a reducerii, se obtine aceasta forma.
Folositi regula lui Cramer pentru sisteme mici (n=2 sau 3), la marimi mai mari devine ineficienta din cauza calculului multor determinanti.