Matematică Alte teme
Progresii geometrice exercitii rezolvate
Progresiile geometrice sunt șiruri unde fiecare termen se obține înmulțind precedentul cu rația q. Exercițiile tipice cer calculul termenului general, sumei sau identificarea rației. Rezolvarea implică aplicarea formulelor cu atenție la semne.
Formule cheie pentru progresii geometrice
- Termenul general (aₙ) aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹. Exemplu: a₁ = 2, q = 3, a₄ = 2 * 3³ = 54.
- Suma primilor n termeni (Sₙ) Dacă q ≠ 1, Sₙ = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1). Pentru q = 1, Sₙ = n * a₁.
- Produsul primilor n termeni Pₙ = (a₁ * aₙ)ⁿ/², dar se folosește mai rar în exerciții.
Exercițiu rezolvat complet
- 1 Enunț Într-o progresie geometrică, a₁ = 5 și q = 2. Calculați a₃ și suma primilor 4 termeni.
- 2 Calculează a₃ a₃ = a₁ * q² = 5 * 2² = 5 * 4 = 20.
- 3 Calculează S₄ S₄ = a₁ * (q⁴ - 1) / (q - 1) = 5 * (16 - 1) / (2 - 1) = 5 * 15 = 75.
- 4 Verificare Termenii sunt 5, 10, 20, 40; suma 5 + 10 + 20 + 40 = 75, corect.
Atentie la q: dacă q = 1, progresia este constantă și formula sumei se schimbă.