Matematică Alte teme
Produse scalare si vectoriale formule
Produsul scalar și produsul vectorial sunt două operații fundamentale cu vectori în spațiul tridimensional. Produsul scalar dă un număr real, iar produsul vectorial dă un vector perpendicular pe planul celor doi vectori.
Produsul scalar (dot product)
- Definiție și formulă Produsul scalar a doi vectori a și b este a·b = |a||b|cosθ, unde θ este unghiul dintre ei. În coordonate carteziene, dacă a = (x₁, y₁, z₁) și b = (x₂, y₂, z₂), atunci a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
- Proprietăți Este comutativ: a·b = b·a. Este distributiv față de adunare: a·(b + c) = a·b + a·c. Dacă a·b = 0, vectorii sunt perpendiculari (θ = 90°).
- Exemplu numeric Pentru a = (2, 3, 1) și b = (4, -1, 2), a·b = 2*4 + 3*(-1) + 1*2 = 8 - 3 + 2 = 7.
Produsul vectorial (cross product)
- Definiție și formulă Produsul vectorial a doi vectori a și b este un vector c = a × b, cu |c| = |a||b|sinθ, direcția perpendiculară pe planul lui a și b, sens dat de regula mâinii drepte. În coordonate, a × b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂).
- Proprietăți Este anticomutativ: a × b = - (b × a). Este distributiv: a × (b + c) = a × b + a × c. Dacă a × b = 0, vectorii sunt paraleli (θ = 0° sau 180°).
- Exemplu numeric Pentru a = (1, 0, 0) și b = (0, 1, 0), a × b = (0*0 - 0*1, 0*0 - 1*0, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1).
Folosește produsul scalar pentru proiecții și unghiuri, iar produsul vectorial pentru arie și perpendicularitate.