Matematică Alte teme
Produs scalar vectori formula
Produsul scalar al doi vectori este un număr real obținut prin înmulțirea mărimilor vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei. Formula generală este u · v = |u| * |v| * cos(θ), unde |u| și |v| sunt modulele, iar θ este unghiul dintre vectori.
Formule de calcul
- Formula cu coordonate Pentru vectori în plan, u = (x1,y1) și v = (x2,y2), produsul scalar este u · v = x1*x2 + y1*y2. În spațiu, pentru u = (x1,y1,z1) și v = (x2,y2,z2), este x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.
- Formula cu unghi Dacă se cunosc modulele și unghiul, u · v = |u| * |v| * cos(θ). De exemplu, dacă |u|=3, |v|=4 și θ=60°, cos(60°)=0.5, deci u · v = 3*4*0.5=6.
- Proprietăți Produsul scalar este comutativ: u · v = v · u. Dacă vectorii sunt perpendiculari, u · v = 0 deoarece cos(90°)=0.
Aplicații practice
- Calculul unghiului Din formula, cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|). Pentru u = (1,2) și v = (3,4), u · v = 1*3+2*4=11, |u|=√5, |v|=5, deci cos(θ)=11/(√5*5).
- Proiecția unui vector Proiecția vectorului u pe direcția lui v este (u · v) / |v|. Aceasta dă lungimea proiecției.
- Exemplu numeric Fie u = (2,3) și v = (4,1). Produsul scalar este 2*4 + 3*1 = 8+3=11.
Folosește formula cu coordonate pentru calcule rapide și verifică perpendicularitatea cu produsul scalar zero.