Matematică Alte teme
Produs scalar al vectorilor definitie
Produsul scalar al doi vectori este o operație care asociază un număr real perechii de vectori, măsurând unghiul dintre ei și proiecțiile lor. Pentru vectorii u și v în plan sau spațiu, produsul scalar se notează u·v și se calculează ca suma produselor coordonatelor corespondente.
Definiție și formulă
- 1 Definiție geometrică u·v = |u| * |v| * cos(θ), unde |u| și |v| sunt lungimile vectorilor, iar θ este unghiul dintre ei. Exemplu: Dacă u și v au lungimea 2 și unghiul 60°, cos(60°)=0.5, deci u·v=2*2*0.5=2.
- 2 Definiție algebrică În coordonate, pentru u=(x₁,y₁) și v=(x₂,y₂), u·v = x₁x₂ + y₁y₂. Exemplu: u=(1,2), v=(3,4), atunci u·v=1*3+2*4=11.
- 3 Extensie în spațiu Pentru vectori în spațiu 3D, u=(x₁,y₁,z₁) și v=(x₂,y₂,z₂), u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Exemplu: u=(1,0,1), v=(2,3,4), u·v=1*2+0*3+1*4=6.
Proprietăți și aplicații
- Comutativitate u·v = v·u; aceasta rezultă direct din definiția algebrică, deoarece adunarea și înmulțirea sunt comutative.
- Ortogonalitate Doi vectori sunt ortogonali (perpendiculari) dacă u·v=0. Exemplu: u=(1,0), v=(0,1), u·v=0, deci sunt perpendiculari.
- Calculul lungimii Lungimea unui vector u este |u| = √(u·u). Exemplu: u=(3,4), u·u=9+16=25, deci |u|=5.
- Aplicații în fizică Folosit pentru calculul lucrului mecanic: L = F·d, unde F este forța și d este deplasarea.
Exersează calculul produsului scalar atât geometric cât și algebric pentru a înțelege legătura dintre unghi și coordonate.