Matematică Alte teme
Metode de integrare prin substitutie
Integrarea prin substituție este o metodă care schimbă variabila pentru a simplifica integrala. Ea se bazează pe formula ∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du, unde u = g(x).
Pași pentru integrare prin substituție
- 1 Alegeți substituția. Identificați o funcție g(x) a cărei derivată g'(x) apare în integrală. Notați u = g(x).
- 2 Calculați du. Derivați: du = g'(x) dx. Exprimați dx în funcție de du.
- 3 Înlocuiți în integrală. Transformați integrala inițială în ∫ f(u) du, eliminând variabila x.
- 4 Integrați și înlocuiți înapoi. Calculați integrala în u, apoi înlocuiți u = g(x) pentru rezultatul final.
Exemple de substituții comune
- Substituție liniară Pentru ∫ (2x+1)^3 dx, u = 2x+1, du = 2 dx, dx = du/2. Integrala devine (1/2) ∫ u^3 du = (1/8) u^4 + C.
- Substituție trigonometrică Pentru ∫ cos(3x) dx, u = 3x, du = 3 dx, dx = du/3. Integrala = (1/3) sin u + C = (1/3) sin(3x) + C.
- Substituție pentru funcții compuse Pentru ∫ e^(x^2) * 2x dx, u = x^2, du = 2x dx. Integrala = ∫ e^u du = e^u + C = e^(x^2) + C.
Verificați întotdeauna derivata substituției pentru a asigura că se anulează termenii.