Matematică Alte teme
Metode de integrare prin parti si substitutie
Integrarea prin părți și substituție sunt metode fundamentale pentru calculul integralelor nedefinite. Integrarea prin părți se bazează pe formula ∫ u dv = uv - ∫ v du, unde u și v sunt funcții derivabile. Substituția implică schimbarea variabilei pentru a simplifica integrala, folosind o funcție derivabilă.
Metoda integrării prin părți
- 1 Pasul 1: Alegerea lui u și dv Pentru ∫ x·e^x dx, alegem u = x și dv = e^x dx, deci du = dx și v = e^x.
- 2 Pasul 2: Aplicarea formulei ∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx = x·e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C.
- 3 Pasul 3: Verificarea Derivând rezultatul: d/dx [e^x(x-1)] = e^x(x-1) + e^x = x·e^x, corect.
Metoda substituției
- 1 Pasul 1: Identificarea substituției Pentru ∫ 2x·e^{x^2} dx, observăm că derivata lui x^2 este 2x, deci facem substituția t = x^2.
- 2 Pasul 2: Calculul diferențialelor dt = 2x dx, deci integrala devine ∫ e^t dt.
- 3 Pasul 3: Rezolvarea și revenirea ∫ e^t dt = e^t + C = e^{x^2} + C.
Alege integrarea prin părți când integrala conține produs de funcții, și substituția când apare o funcție și derivata ei.