Matematică Alte teme
Metoda Gauss de rezolvare a sistemelor
Metoda Gauss este o tehnică de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin transformarea matricei extinse într-o formă triunghiulară sau eșalonată. Aceasta implică eliminarea succesivă a variabilelor pentru a obține soluțiile direct.
Pași de aplicare
- 1 Pasul 1: Scrierea matricei extinse Scrie matricea extinsă a sistemului, care include coeficienții variabilelor și termenii liberi. Exemplu: pentru sistemul 2x + y = 5, x - y = 1, matricea este [[2, 1, 5], [1, -1, 1]].
- 2 Pasul 2: Transformări elementare Aplică transformări elementare pe linii (schimb de linii, înmulțire cu scalar, adunare de linii) pentru a obține o matrice triunghiulară. Scopul este să ai zerouri sub diagonala principală.
- 3 Pasul 3: Rezolvarea sistemului După obținerea formei triunghiulare, rezolvă sistemul de jos în sus prin substituție. Exemplu: dacă ai matricea [[1, -1, 1], [0, 3, 3]], din a doua ecuație 3y = 3 → y = 1, apoi din prima x - 1 = 1 → x = 2.
Exemplu complet
- Sistemul inițial x + 2y = 4, 3x - y = 5. Matricea extinsă: [[1, 2, 4], [3, -1, 5]].
- Transformări Scade de 3 ori prima linie din a doua: [[1, 2, 4], [0, -7, -7]].
- Rezolvare Din a doua ecuație: -7y = -7 → y = 1. Din prima: x + 2*1 = 4 → x = 2. Soluția: (2, 1).
Verifică soluția prin înlocuirea în ecuațiile inițiale pentru a te asigura că este corectă.