Matematică Alte teme
Limite de siruri exercitii rezolvate
Limitele de șiruri determină comportamentul termenilor unui șir pe măsură ce indicele n tinde la infinit. Rezolvarea exercițiilor implică aplicarea regulilor de calcul și a proprietăților. De exemplu, limita șirului a_n = 1/n este 0 când n→∞.
Exerciții rezolvate pas cu pas
- 1 Șir simplu Calculați limita șirului a_n = (2n+1)/(n+3). Pas 1: Împărțiți numărătorul și numitorul la n: (2+1/n)/(1+3/n). Pas 2: Când n→∞, 1/n→0, deci limita este 2/1=2.
- 2 Șir cu radical Limita șirului b_n = √(n^2+1) - n. Pas 1: Amplificați conjugata: [√(n^2+1)-n]*[√(n^2+1)+n]/[√(n^2+1)+n] = (n^2+1-n^2)/[√(n^2+1)+n] = 1/[√(n^2+1)+n]. Pas 2: Când n→∞, numitorul tinde la infinit, deci limita este 0.
- 3 Șir geometric Limita șirului c_n = (1/2)^n. Deoarece rația este 1/2 < 1, șirul converge la 0.
Proprietăți aplicate
- Limita sumei Dacă lim a_n = L și lim b_n = M, atunci lim (a_n+b_n) = L+M. Exemplu: a_n=3, b_n=1/n, limita sumei este 3+0=3.
- Șir mărginit Un șir mărginit care este monoton are limită finită. Șirul a_n=1-1/n este crescător și mărginit de 1, deci converge la 1.
- Criteriul raportului Pentru șiruri pozitive, dacă lim (a_{n+1}/a_n) < 1, atunci șirul converge la 0. Pentru a_n=n/2^n, raportul tinde la 1/2, deci converge la 0.
Verifică întotdeauna dacă șirul este definit pentru n suficient de mare înainte de a calcula limita.