Matematică Alte teme
Injectivitate surjectivitate bijectivitate exercitii
O funcție este injectivă dacă fiecărui element din codomeniu îi corespunde cel mult un element din domeniu, surjectivă dacă fiecărui element din codomeniu îi corespunde cel puțin un element din domeniu, și bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Aceste proprietăți se verifică prin exerciții practice.
Exerciții tipice pentru injectivitate
- Verificare prin definiție Pentru f: R→R, f(x)=2x+1, arătați că este injectivă: presupunem f(x1)=f(x2) => 2x1+1=2x2+1 => x1=x2.
- Folosirea derivatei Pentru funcții derivabile, monotonia strictă implică injectivitatea: f(x)=x^3, f'(x)=3x^2≥0, dar nu este strict monotonă pe R, deci nu este injectivă pe R.
- Exemplu numeric Fie A={1,2,3}, B={a,b}, f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b. Funcția nu este injectivă deoarece f(1)=f(2).
Exerciții pentru surjectivitate și bijectivitate
- Verificare surjectivității Pentru f: R→R, f(x)=x^2, nu este surjectivă deoarece codomeniul este R, dar f(x)≥0, deci numerele negative nu au preimagine.
- Bijectivitate prin compunere Dacă f: A→B este bijectivă, atunci există inversa f^-1: B→A. Exemplu: f(x)=3x-2, inversa este f^-1(x)=(x+2)/3.
- Aplicație practică Într-un exercițiu, se dă f: {1,2,3}→{4,5,6}, f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6. Aceasta este bijectivă deoarece este atât injectivă cât și surjectivă.
Pentru a verifica proprietățile, scrieți definițiile și testați cu exemple concrete.