Matematică Alte teme
Geometrie analitica dreapta in spatiu
În geometria analitică, o dreaptă în spațiu poate fi reprezentată prin ecuații parametrice sau ecuații carteziene, folosind coordonatele punctelor și vectorii direcție. Spre deosebire de plan, în spațiu o dreaptă este definită de un punct și un vector direcție sau de două plane care se intersectează.
Ecuații ale dreptei în spațiu
- Ecuații parametrice Dacă dreapta trece prin punctul A(x₀,y₀,z₀) și are vectorul direcție v=(a,b,c), atunci ecuațiile sunt: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct, cu t parametru real. Exemplu: Pentru A(1,2,3) și v=(2,1,0), x=1+2t, y=2+t, z=3.
- Ecuații carteziene Dreapta ca intersecție a două plane: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 și A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Exemplu: Planele x+y+z=6 și 2x-y+3z=4 definesc o dreaptă în spațiu.
- Ecuația vectorială r = r₀ + t*v, unde r₀ este vectorul de poziție al punctului A, iar v este vectorul direcție. Exemplu: Pentru A(0,1,2) și v=(1,0,1), r=(0,1,2)+t(1,0,1).
Proprietăți și calcul
- 1 Pas 1: Găsirea vectorului direcție Din două puncte A și B pe dreaptă, vectorul direcție este AB = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A). Exemplu: A(1,2,3), B(4,5,6), v=(3,3,3).
- 2 Pas 2: Verificarea apartenenței unui punct Un punct P(x,y,z) aparține dreptei dacă satisface ecuațiile parametrice pentru un t real. Exemplu: Pentru dreapta x=1+2t, y=2+t, z=3, punctul P(3,3,3) corespunde lui t=1.
- 3 Pas 3: Poziția relativă a două drepte Două drepte în spațiu pot fi paralele (vectorii direcție proporționali), concurente (se intersectează) sau necoplanare (oarbe).
Învață să treci de la ecuații parametrice la carteziene prin eliminarea parametrului t pentru a exersa reprezentările multiple.