Matematică Alte teme
Formula lui Moivre demonstratie
Formula lui Moivre afirmă că pentru orice număr complex în formă trigonometrică și orice număr întreg n, (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ). Demonstrația se bazează pe inducție matematică și proprietățile funcțiilor trigonometrice.
Pași pentru demonstrație
- 1 Pasul 1: Baza inducției Pentru n = 1, formula este evident adevărată: (cos θ + i sin θ)^1 = cos θ + i sin θ.
- 2 Pasul 2: Ipoteza inducției Presupunem că formula este adevărată pentru n = k: (cos θ + i sin θ)^k = cos(kθ) + i sin(kθ).
- 3 Pasul 3: Pasul inducției Demonstrăm pentru n = k+1: (cos θ + i sin θ)^(k+1) = (cos θ + i sin θ)^k * (cos θ + i sin θ) = [cos(kθ) + i sin(kθ)] * (cos θ + i sin θ).
Calcul și finalizare
- Înmulțirea numerelor complexe Folosește formula înmulțirii: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. Aici, a = cos(kθ), b = sin(kθ), c = cos θ, d = sin θ.
- Aplicarea identităților trigonometrice Calculează: cos(kθ)cos θ - sin(kθ)sin θ = cos(kθ+θ) = cos((k+1)θ) și cos(kθ)sin θ + sin(kθ)cos θ = sin(kθ+θ) = sin((k+1)θ).
- Concluzia demonstrației Rezultă că (cos θ + i sin θ)^(k+1) = cos((k+1)θ) + i sin((k+1)θ), ceea ce confirmă formula pentru orice n întreg prin inducție.
Pentru exerciții, aplică formula direct pentru a calcula puteri ale numerelor complexe fără a le descompune manual.