Matematică Alte teme
Algebra liniara spatii vectoriale baza dimensiune
În algebra liniară, un spațiu vectorial este o mulțime de vectori cu operații de adunare și înmulțire cu scalari. O bază este un set de vectori liniar independenți care generează întreg spațiul, iar dimensiunea este numărul de vectori din bază.
Spațiu vectorial
- Definiție Un spațiu vectorial V peste un corp K (de ex., ℝ) este o mulțime cu adunare și înmulțire cu scalari care respectă 8 axiome, cum ar fi comutativitatea și asociativitatea.
- Exemplu ℝ² = {(x, y) | x, y ∈ ℝ} este un spațiu vectorial peste ℝ, cu adunarea (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) și înmulțirea cu scalar k*(x, y) = (kx, ky).
Bază și dimensiune
- Bază O bază pentru un spațiu vectorial V este o mulțime de vectori {v₁, v₂, ..., vₙ} liniar independenți care generează V, adică orice vector din V se scrie ca combinație liniară a acestora.
- Dimensiune Dimensiunea lui V, notată dim(V), este numărul de vectori dintr-o bază. Dacă V are o bază finită, dim(V) = n.
- Exemplu numeric În ℝ², baza canonică este {(1,0), (0,1)}. Orice vector (x, y) = x*(1,0) + y*(0,1). dim(ℝ²) = 2.
Pentru a găsi dimensiunea, identifică o bază și numără vectorii din ea.