Matematică Aritmetică
Functia putere proprietati
Funcția putere este de forma f(x) = xⁿ, unde n este un număr real numit exponent. Proprietățile sale depind de exponent: pentru n natural, funcția este definită pe ℝ; pentru n întreg negativ, este definită pe ℝ\{0}; pentru n rațional, poate implica radicali.
Proprietăți pentru n natural
- Domeniu și codomeniu f: ℝ → ℝ. Exemplu: f(x)=x² are domeniu ℝ și codomeniu [0,∞).
- Paritate Dacă n este par, funcția este pară: f(-x)=f(x). Exemplu: f(x)=x⁴, f(-2)=16=f(2). Dacă n este impar, funcția este impară: f(-x)=-f(x). Exemplu: f(x)=x³, f(-2)=-8=-f(2).
- Monotonie Pentru n>0: pe [0,∞) funcția este crescătoare; pe (-∞,0], dacă n este par este descrescătoare, dacă n este impar este crescătoare. Exemplu: f(x)=x² este descrescătoare pe (-∞,0] și crescătoare pe [0,∞).
- Grafic Pentru n par, graficul este simetric față de axa Oy; pentru n impar, este simetric față de origine. Exemplu: x² este o parabolă, x³ este o curbă cubică.
Exemple numerice
- Exemplu 1: f(x)=x³ f(2)=8, f(-2)=-8, f(0)=0. Graficul trece prin origine și este crescător pe tot ℝ.
- Exemplu 2: f(x)=x⁻² f(2)=1/4, f(-2)=1/4, f(1)=1. Funcția este pară și definită pe ℝ\{0}.
- Exemplu 3: f(x)=x^(1/2) Aceasta este √x, definită pe [0,∞). f(4)=2, f(9)=3.
Memorează paritatea și monotonie pentru a trasa rapid graficele funcțiilor putere.