Matematică Aritmetică
Cum se demonstreaza ca un numar e divizibil cu 3?
Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Aceasta este o regulă de divizibilitate care se aplică oricărui număr întreg. De exemplu, pentru 123, suma cifrelor este 1+2+3=6, care e divizibil cu 3, deci 123 e divizibil cu 3.
Demonstrația regulii
- 1 Scrie numărul în baza 10 Fie numărul N = a_n*10^n + a_{n-1}*10^{n-1} + ... + a_1*10 + a_0, unde a_i sunt cifrele.
- 2 Observă că 10 ≡ 1 (mod 3) Deoarece 10 = 9+1, iar 9 e divizibil cu 3, rezultă că 10 ≡ 1 (mod 3), deci 10^k ≡ 1 (mod 3) pentru orice k.
- 3 Aplică congruența la N N ≡ a_n*1 + a_{n-1}*1 + ... + a_1*1 + a_0 (mod 3) = suma cifrelor (mod 3).
- 4 Concluzie N e divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor e divizibilă cu 3.
Exemple practice
- Exemplul 1: 471 Suma cifrelor: 4+7+1=12, 12 e divizibil cu 3, deci 471 e divizibil cu 3.
- Exemplul 2: 205 Suma cifrelor: 2+0+5=7, 7 nu e divizibil cu 3, deci 205 nu e divizibil cu 3.
- Exemplul 3: 999 Suma cifrelor: 9+9+9=27, 27 e divizibil cu 3, deci 999 e divizibil cu 3.
Verifică rapid divizibilitatea cu 3 calculând suma cifrelor în minte.