Matematică Analiză matematică
Teorema lui Lagrange valoare medie exercitii
Teorema lui Lagrange (teorema valorii medii) afirmă că pentru o funcție continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), există cel puțin un punct c în (a,b) unde derivata este egală cu panta medie a funcției pe interval. Aceasta se scrie: f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). Exercițiile tipice cer să găsești acel punct c sau să demonstrezi inegalități.
Exercițiu tipic: găsirea punctului c
- 1 Pasul 1 Verifică condițiile: funcția trebuie să fie continuă pe intervalul închis și derivabilă pe intervalul deschis. Exemplu: f(x)=x² pe [1,3] este continuă și derivabilă peste tot.
- 2 Pasul 2 Calculează panta medie: (f(3)-f(1))/(3-1) = (9-1)/2 = 4.
- 3 Pasul 3 Găsește c rezolvând f'(c)=4. Pentru f(x)=x², f'(x)=2x, deci 2c=4 → c=2 ∈ (1,3).
Exerciții cu aplicații
- Demonstrarea inegalităților Folosește teorema pentru a arăta că |sin b - sin a| ≤ |b-a|, deoarece derivata sin x este cos x, mărginită între -1 și 1.
- Estimarea creșterii funcției Dacă f'(x) ≥ 2 pe [0,5], atunci f(5)-f(0) ≥ 10, conform teoremei.
- Exerciții de bacalaureat Sunt frecvente probleme care cer să arăți că ecuația f'(x)=k are soluție într-un interval dat.
În exerciții, verifică întotdeauna condițiile de continuitate și derivabilitate înainte de a aplica teorema.