Matematică Analiză matematică
Substitutia in integrale exercitii
Substituția în integrale este o metodă de calcul care simplifică integralele prin schimbarea variabilei. Se notează de obicei cu u = g(x), iar du = g'(x)dx, transformând integrala într-una mai ușor de rezolvat.
Pași pentru substituție
- 1 Alege substituția Identifică o parte a integrantului care poate fi înlocuită cu u, de exemplu o funcție compusă.
- 2 Calculează diferențiala Derivă u în raport cu x pentru a obține du = u' dx, apoi exprimă dx în funcție de du.
- 3 Substituie și integrează Înlocuiește în integrală pentru a obține o integrală în u, rezolv-o, apoi revino la variabila inițială.
Exerciții rezolvate
- Exercițiu 1 Calculează ∫2x e^(x^2) dx. Fie u = x^2, du = 2x dx. Integrala devine ∫e^u du = e^u + C = e^(x^2) + C.
- Exercițiu 2 Calculează ∫sin(3x) dx. Fie u = 3x, du = 3 dx, deci dx = du/3. Integrala devine (1/3)∫sin(u) du = -(1/3)cos(u) + C = -(1/3)cos(3x) + C.
- Exercițiu 3 Calculează ∫x/(x^2+1) dx. Fie u = x^2+1, du = 2x dx, deci x dx = du/2. Integrala devine (1/2)∫1/u du = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(x^2+1) + C.
Exersează substituția pe diverse tipuri de integrale pentru a deveni rapid în identificarea schimbării potrivite.