Matematică Analiză matematică
Regula lui L'Hopital limite cu nedeterminarea 0 pe 0
Regula lui L'Hôpital se aplică la limite cu nedeterminări de tip 0/0 sau ∞/∞ și spune că limita raportului a două funcții este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta există. Pentru 0/0, scrie: lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x), presupunând că f(a)=g(a)=0 și derivatele există.
Pași de aplicare pentru 0/0
- 1 Pasul 1 Verifică nedeterminarea: înlocuiește x cu a în f(x)/g(x). Dacă obții 0/0, poți aplica regula. Exemplu: lim (x→0) sin x / x dă 0/0.
- 2 Pasul 2 Derivă separat numărătorul și numitorul: f'(x)=cos x, g'(x)=1 pentru sin x / x.
- 3 Pasul 3 Calculează noua limită: lim (x→0) cos x / 1 = cos 0 = 1.
Exemple numerice
- Exemplu 1 lim (x→1) (x²-1)/(x-1) = 0/0. Derivate: 2x și 1. Limita: 2*1/1=2.
- Exemplu 2 lim (x→0) (e^x - 1)/x = 0/0. Derivate: e^x și 1. Limita: e^0/1=1.
- Atenție la condiții Regula se poate aplica repetat dacă nedeterminarea persistă, dar verifică mereu că derivatele există.
Aplică regula doar după ce ai confirmat nedeterminarea 0/0 sau ∞/∞, altfel poți obține rezultate greșite.