Matematică Analiză matematică
Puncte de extrem local ale functiei
Punctele de extrem local ale unei funcții sunt punctele în care funcția atinge un maxim sau minim într-o vecinătate. Ele se găsesc printre punctele critice, unde derivata întâi este zero sau nu există. De exemplu, pentru f(x)=x², x=0 este punct de minim local.
Condiții pentru găsirea extremelor
- Derivata întâi Calculează f'(x) și rezolvă f'(x)=0 pentru puncte staționare.
- Derivata a doua Pentru punctele staționare, testează semnul lui f''(x): f''(x)>0 indică minim, f''(x)<0 indică maxim.
- Puncte singulare Verifică punctele unde f'(x) nu există, deoarece pot fi și ele extreme.
Exemplu: f(x)=x³-3x
- 1 Pasul 1 Derivă: f'(x)=3x²-3. Rezolvă 3x²-3=0 → x=±1.
- 2 Pasul 2 Calculează f''(x)=6x. Pentru x=1, f''(1)=6>0 → minim local. Pentru x=-1, f''(-1)=-6<0 → maxim local.
- 3 Pasul 3 Valorile: f(1)=-2 (minim), f(-1)=2 (maxim).
Nu uita să verifici și valorile funcției la capetele intervalului dacă funcția este definită pe un interval închis.