Matematică Analiză matematică
Integrale improprii exercitii
Integralele improprii extind noțiunea de integrală definită la cazuri cu limite infinite sau funcții nemărginite. Se rezolvă calculând o limită. Exemplu: ∫₁∞ 1/x² dx se evaluează ca lim_{b→∞} ∫₁ᵇ 1/x² dx.
Tipuri de improprietăți
- Limite infinite ∫ₐ∞ f(x)dx = lim_{b→∞} ∫ₐᵇ f(x)dx. Similar pentru ∫_{-∞}ᵇ.
- Funcții nemărginite Dacă f are discontinuitate în c∈[a,b], ∫ₐᵇ f(x)dx = lim_{t→c⁻} ∫ₐᵗ f(x)dx + lim_{t→c⁺} ∫ₜᵇ f(x)dx.
- Exemplu numeric ∫₀¹ 1/√x dx este improprie la x=0. Calcul: lim_{t→0⁺} ∫ₜ¹ x^{-1/2} dx = lim_{t→0⁺} [2√x]ₜ¹ = 2.
Exerciții rezolvate
- 1 ∫₁∞ 1/x dx lim_{b→∞} ∫₁ᵇ 1/x dx = lim_{b→∞} [ln x]₁ᵇ = lim_{b→∞} (ln b - 0) = ∞, deci integrala diverge.
- 2 ∫₀¹ ln x dx Improprie la x=0: lim_{t→0⁺} ∫ₜ¹ ln x dx = lim_{t→0⁺} [x ln x - x]ₜ¹ = (0-1) - lim_{t→0⁺} (t ln t - t) = -1 - 0 = -1.
- 3 ∫_{-∞}∞ e^{-|x|} dx Folosește simetria: 2∫₀∞ e^{-x} dx = 2 lim_{b→∞} [-e^{-x}]₀ᵇ = 2(0 - (-1)) = 2.
Verifică întotdeauna convergența calculând limita; dacă limita este finită, integrala converge.