Matematică Analiză matematică
Integrale improprii exemple rezolvate
Integralele improprii sunt integrale definite cu limite infinite sau cu funcții nemărginite pe interval. Ele se calculează prin trecere la limită. Existența integralei depinde de convergența limitei.
Tipuri de integrale improprii
- Limite infinite Exemplu: ∫_1^∞ (1/x^2) dx. Se calculează ca lim_{b→∞} ∫_1^b (1/x^2) dx = lim_{b→∞} [-1/x]_1^b = lim_{b→∞} (-1/b + 1) = 1.
- Funcții nemărginite Exemplu: ∫_0^1 (1/√x) dx. Funcția este nemărginită în x=0. Se calculează ca lim_{a→0+} ∫_a^1 (1/√x) dx = lim_{a→0+} [2√x]_a^1 = lim_{a→0+} (2 - 2√a) = 2.
- Ambele cazuri combinate Exemplu: ∫_0^∞ e^(-x) dx. Se împarte în ∫_0^b e^(-x) dx cu b→∞. Rezultat: lim_{b→∞} [-e^(-x)]_0^b = lim_{b→∞} (-e^(-b) + 1) = 1.
Exemple rezolvate
- ∫_1^∞ (1/x) dx lim_{b→∞} ∫_1^b (1/x) dx = lim_{b→∞} [ln|x|]_1^b = lim_{b→∞} (ln b - 0) = ∞, deci integrala diverge.
- ∫_0^1 ln(x) dx Funcția este nemărginită în x=0. lim_{a→0+} ∫_a^1 ln(x) dx = lim_{a→0+} [x·ln(x) - x]_a^1 = lim_{a→0+} (-1 - a·ln(a) + a) = -1.
- ∫_-∞^∞ (1/(1+x^2)) dx Se împarte în ∫_-∞^0 și ∫_0^∞. Ambele converg: lim_{a→-∞} [arctan(x)]_a^0 + lim_{b→∞} [arctan(x)]_0^b = π/2 + π/2 = π.
Verifică întotdeauna convergența prin calculul limitei; dacă limita este finită, integrala converge.