Matematică Analiză matematică
Integrale improprii exemple
Integralele improprii sunt integrale definite cu limite infinite sau cu funcții nemărginite pe interval. Ele extind noțiunea de integrală la cazuri unde funcția nu este continuă sau intervalul este nelimitat. De exemplu, ∫ de la 1 la ∞ din (1/x²) dx este o integrală improprie.
Tipuri de integrale improprii
- Limite infinite ∫ de la a la ∞ din f(x) dx se calculează ca limită: lim b→∞ ∫ de la a la b din f(x) dx.
- Funcții nemărginite Dacă f(x) are asimptotă verticală în c, ∫ de la a la b din f(x) dx se împarte în limite laterale.
- Ambele cazuri Unele integrale au atât limite infinite, cât și discontinuități, necesitând împărțirea în mai multe părți.
Exemple rezolvate
- 1 Exemplul 1 ∫ de la 1 la ∞ din (1/x²) dx = lim b→∞ ∫ de la 1 la b din x⁻² dx = lim b→∞ [-1/x] de la 1 la b = lim b→∞ (-1/b + 1) = 1.
- 2 Exemplul 2 ∫ de la 0 la 1 din (1/√x) dx, cu nemărginire în x=0: lim a→0⁺ ∫ de la a la 1 din x⁻¹/² dx = lim a→0⁺ [2√x] de la a la 1 = 2.
- 3 Exemplul 3 ∫ de la -∞ la ∞ din e⁻ˣ² dx necesită tehnici avansate, dar converge la √π.
Verifică întotdeauna convergența înainte de a calcula valoarea.