Matematică Analiză matematică
Integrale definite calcul si proprietati de baza
Integrala definită ∫_a^b f(x) dx reprezintă aria cu semn dintre graficul funcției f(x) și axa Ox pe intervalul [a, b]. Ea se calculează folosind o primitivă F(x) a lui f(x), aplicând formula lui Leibniz-Newton. Proprietățile de bază simplifică calculul și analiza integralelor.
Proprietăți fundamentale ale integralelor definite
- Aditivitatea la interval Dacă a < c < b, atunci ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.
- Schimbarea limitelor ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx. Dacă a = b, integrala este 0.
- Liniaritatea ∫_a^b [α·f(x) + β·g(x)] dx = α·∫_a^b f(x) dx + β·∫_a^b g(x) dx, pentru α, β constante.
- Compararea funcțiilor Dacă f(x) ≤ g(x) pe [a, b], atunci ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.
Calculul unei integrale definite: exemplu
- 1 Integrala dată Calculați ∫_1^3 (2x + 1) dx.
- 2 Găsirea primitivei O primitivă a lui 2x + 1 este F(x) = x² + x, deoarece F'(x) = 2x + 1.
- 3 Aplicarea formulei Leibniz-Newton ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Aici, F(3) = 3² + 3 = 12, F(1) = 1² + 1 = 2.
- 4 Calculul diferenței ∫_1^3 (2x + 1) dx = 12 - 2 = 10.
- 5 Interpretare geometrică Rezultatul 10 reprezintă aria (cu semn) dintre dreapta y=2x+1 și axa Ox de la x=1 la x=3.
Verifică întotdeauna continuitatea funcției pe interval înainte de a aplica formula Leibniz-Newton.