Matematică Analiză matematică
Integrale definite aplicatii in geometrie
Integralele definite au aplicații directe în geometrie, în special pentru calculul ariilor și volumelor. Ele permit determinarea mărimilor geometrice prin sumarea unor elemente infinitezimale. De exemplu, aria unei regiuni plane mărginită de curbe se calculează cu o integrală definită.
Aplicații geometrice comune
- Aria sub o curbă Aria dintre graficul funcției f(x) și axa Ox pe intervalul [a, b] este A = ∫_a^b |f(x)| dx. Dacă f(x) ≥ 0, se omite valoarea absolută.
- Aria dintre două curbe Aria dintre graficele funcțiilor f(x) și g(x) pe [a, b], cu f(x) ≥ g(x), este A = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx.
- Volumul unui corp de rotație Rotind graficul lui f(x) în jurul axei Ox pe [a, b], volumul este V = π ∫_a^b [f(x)]² dx (metoda discurilor).
- Lungimea unui arc de curbă Pentru o curbă y = f(x) pe [a, b], lungimea este L = ∫_a^b √[1 + (f'(x))²] dx.
Exemplu: arie între două curbe
- 1 Datele problemei Calculați aria dintre curbele y = x² și y = 2x pe intervalul unde se intersectează.
- 2 Găsirea punctelor de intersecție Rezolvăm x² = 2x → x(x-2)=0, deci x=0 și x=2. Pe [0,2], 2x ≥ x².
- 3 Setarea integralei Aria A = ∫_0^2 (2x - x²) dx.
- 4 Calculul integralei ∫ (2x - x²) dx = x² - x³/3. Evaluăm de la 0 la 2: (4 - 8/3) - 0 = 4/3.
- 5 Interpretarea Aria este 4/3 unități pătrate, reprezentând regiunea dintre parabolă și dreaptă.
Întotdeauna identifică curba superioară și intervalul corect înainte de a seta integrala pentru arie.