Matematică Analiză matematică
Integrale definite aplicatii
Integralele definite calculează aria de sub graficul unei funcții pe un interval [a, b]. Aplicații practice includ calculul ariilor, volumelor și mărimi fizice precum lucrul mecanic.
Aplicații comune ale integralelor definite
- Aria unei suprafețe Aria dintre graficul lui f(x) și axa Ox pe [a,b] este ∫ₐᵇ |f(x)| dx. Exemplu: pentru f(x)=x² pe [0,2], aria este ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3.
- Volumul unui corp de rotație Volumul generat prin rotirea graficului lui f(x) în jurul axei Ox este V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Pentru f(x)=√x pe [0,4], V = π∫₀⁴ x dx = π·8.
- Lucrul mecanic în fizică Lucrul L al unei forțe F(x) care depinde de poziție este L = ∫ₐᵇ F(x) dx. Dacă F(x)=3x N și deplasarea este de la x=0 la x=5 m, L = ∫₀⁵ 3x dx = 37.5 J.
Pași pentru rezolvarea unei integrale definite
- 1 Pasul 1: Găsirea primitivei Determină o primitivă F(x) a funcției f(x). Pentru f(x)=2x, F(x)=x².
- 2 Pasul 2: Aplicarea formulei Leibniz-Newton Calculează ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). Pentru ∫₁³ 2x dx, avem F(3)-F(1)=9-1=8.
- 3 Pasul 3: Interpretarea rezultatului Rezultatul reprezintă aria sau mărimea fizică cerută, cu unități corespunzătoare.
Întotdeauna verifică dacă funcția este continuă pe intervalul de integrare pentru a aplica corect formula.