Matematică Analiză matematică
Integrala definita proprietati si calcul
Integrala definită ∫ₐᵇ f(x)dx reprezintă aria netă dintre graficul funcției f și axa Ox, pe intervalul [a,b]. Ea se calculează folosind o primitivă F a lui f, aplicând formula lui Leibniz-Newton: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)-F(a).
Proprietăți fundamentale
- Liniaritatea ∫ₐᵇ [αf(x)+βg(x)]dx = α∫ₐᵇ f(x)dx + β∫ₐᵇ g(x)dx, pentru α,β constante.
- Aditivitatea intervalului Dacă a<c<b, atunci ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫꜀ᵇ f(x)dx.
- Schimbarea limitelor ∫ₐᵇ f(x)dx = -∫ᵇₐ f(x)dx; integrala de la a la a este zero.
Pași de calcul
- 1 Găsește o primitivă Determină F(x) astfel încât F'(x)=f(x). Exemplu: pentru f(x)=x², F(x)=x³/3.
- 2 Aplică formula Calculează F(b)-F(a). Pentru ∫₁² x² dx, avem F(2)-F(1)= (8/3)-(1/3)=7/3.
- 3 Interpretează rezultatul Dacă integrala este pozitivă, aria netă este deasupra axei Ox; dacă negativă, este sub axă.
Exersează integrale simple, ca ∫₀¹ 2x dx = 1, pentru a înțelege legătura cu aria.