Matematică Analiză matematică
Formula Leibniz Newton aplicatii
Formula Leibniz-Newton, numită și formula fundamentală a calculului integral, stabilește legătura dintre integrala definită și primitive. Ea afirmă că ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a), unde F este o primitivă a lui f.
Aplicații în calculul ariilor
- Aria sub graficul unei funcții Pentru f(x) ≥ 0 pe [a,b], aria = ∫[a,b] f(x)dx. Exemplu: Aria sub f(x)=x² pe [0,2] este ∫[0,2] x²dx = (8/3) - 0 = 8/3.
- Aria între două curbe Dacă f(x) ≥ g(x) pe [a,b], aria = ∫[a,b] [f(x) - g(x)]dx. Exemplu: Între f(x)=x și g(x)=x² pe [0,1], aria = ∫[0,1] (x - x²)dx = 1/6.
Aplicații în fizică și volum
- Calculul lucrului mecanic În fizică, lucrul mecanic al unei forțe variabile F(x) este L = ∫[a,b] F(x)dx. Exemplu: Forța F(x)=2x N pe distanța [0,3] m dă L=9 J.
- Volumul corpurilor de rotație Volumul generat prin rotația graficului lui f(x) în jurul axei Ox este V = π∫[a,b] [f(x)]²dx. Exemplu: Rotind f(x)=√x pe [0,4] se obține V=8π.
Verifică întotdeauna dacă funcția este continuă pe interval înainte de a aplica formula.