Matematică Analiză matematică
Derivata functiei compuse exemple
Derivata funcției compuse se calculează cu regula lanțului: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Această regulă se aplică când o funcție este în interiorul alteia. De exemplu, derivata lui sin(x²) este cos(x²) · 2x.
Regula lanțului explicată
- Formulă generală Dacă y = f(u) și u = g(x), atunci dy/dx = (dy/du) · (du/dx).
- Exemplu simplu Pentru y = (3x+1)², f(u)=u², u=3x+1, deci y' = 2(3x+1) · 3 = 6(3x+1).
- Exemplu cu funcții trigonometrice y = cos(5x): f(u)=cos u, u=5x, deci y' = -sin(5x) · 5 = -5 sin(5x).
Exerciții rezolvate pas cu pas
- 1 Pasul 1: Identifică funcțiile interioară și exterioară Pentru y = e^{x³}, funcția exterioară este e^u, iar interioară este u = x³.
- 2 Pasul 2: Derivează funcția exterioară Derivata lui e^u este e^u, deci f'(u) = e^{x³}.
- 3 Pasul 3: Derivează funcția interioară Derivata lui x³ este 3x², deci g'(x) = 3x².
- 4 Pasul 4: Aplică regula lanțului y' = e^{x³} · 3x² = 3x² e^{x³}.
Exersează regula lanțului pe funcții din ce în ce mai complexe pentru a o stăpâni.