Matematică Algebră
Teorema lui Vieta pentru ecuatii de gradul 2 clasa 8
Teorema lui Viète stabilește relații între rădăcinile x1 și x2 ale unei ecuații de gradul al doilea ax²+bx+c=0 și coeficienții ei. În clasa a 8-a, aceasta simplifică rezolvarea și verificarea ecuațiilor. Exemplu: pentru x²-5x+6=0, x1+x2=5 și x1*x2=6.
Formulele teoremei lui Viète
- Suma rădăcinilor x1 + x2 = -b/a. Pentru ecuația 2x² - 8x + 6 = 0, suma este -(-8)/2 = 4.
- Produsul rădăcinilor x1 * x2 = c/a. Pentru aceeași ecuație, produsul este 6/2 = 3.
- Condiții de aplicare Ecuația trebuie să aibă rădăcini reale, adică discriminantul Δ = b²-4ac ≥ 0.
- Exemplu numeric complet Pentru x² - 7x + 12 = 0, a=1, b=-7, c=12. x1+x2 = 7, x1*x2 = 12. Rădăcinile sunt 3 și 4, verifică: 3+4=7, 3*4=12.
Aplicații practice
- 1 Pasul 1: Verificarea rădăcinilor Dacă ți se dau rădăcinile, verifică dacă satisfac relațiile lui Viète. Exemplu: pentru rădăcinile 2 și -3, ecuația este x² - (2+(-3))x + (2*(-3)) = x² + x - 6 = 0.
- 2 Pasul 2: Găsirea ecuației cunoscând rădăcinile Folosește x² - Sx + P = 0, unde S = x1+x2 și P = x1*x2. Pentru rădăcinile 5 și -1, S=4, P=-5, deci ecuația: x² - 4x - 5 = 0.
- 3 Pasul 3: Rezolvarea rapidă Pentru ecuații simple, găsește numerele a căror sumă și produs sunt date. Exemplu: x² - 10x + 21 = 0, caută numere cu suma 10 și produsul 21: 3 și 7.
- 4 Pasul 4: Exercițiu tipic Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile lui x² - 6x + 8 = 0, calculează x1² + x2². Folosește (x1+x2)² = x1²+2x1x2+x2², deci x1²+x2² = (x1+x2)² - 2x1x2 = 6² - 2*8 = 36-16=20.
Memorează formulele lui Viète pentru a rezolva rapid ecuații și a verifica calculele.