Matematică Algebră
Studiul monotoniei functiilor cu derivate exercitii
Studiul monotoniei unei funcții cu derivate determină intervalele pe care funcția este crescătoare sau descrescătoare. Derivata întâi f'(x) indică semnul: pozitiv pentru creștere, negativ pentru descreștere.
Pași pentru analiza monotoniei
- 1 Calculează derivata întâi Pentru f(x)=x³-3x, f'(x)=3x²-3. Simplifică dacă este necesar.
- 2 Rezolvă ecuația f'(x)=0 3x²-3=0 dă x=±1. Acestea sunt puncte critice care pot separa intervalele de monotonie.
- 3 Studiază semnul derivatei Testează valori în intervalele (-∞,-1), (-1,1), (1,∞). Pentru x=-2, f'(-2)=9>0, deci crescătoare; pentru x=0, f'(0)=-3<0, descrescătoare.
- 4 Concluzionează monotonie f este crescătoare pe (-∞,-1] și [1,∞), descrescătoare pe [-1,1].
Exerciții rezolvate
- Funcție polinomială Pentru f(x)=x²-4x+3, f'(x)=2x-4. f'(x)=0 la x=2. Pe (-∞,2), f'<0 (descrescătoare); pe (2,∞), f'>0 (crescătoare).
- Funcție rațională Pentru f(x)=1/(x-1), f'(x)=-1/(x-1)². Derivata este negativă pentru x≠1, deci funcția este descrescătoare pe (-∞,1) și (1,∞).
- Funcție cu radical Pentru f(x)=√x, x≥0, f'(x)=1/(2√x). Derivata este pozitivă pentru x>0, deci funcția este crescătoare pe [0,∞).
Asigură-te că incluzi punctele critice în intervalele de monotonie și verifică domeniul funcției înainte de analiză.