Matematică Algebră
Studiul monotoniei functiilor cu derivate clasa 11
Studiul monotoniei funcțiilor cu derivate determină intervalele pe care funcția este crescătoare sau descrescătoare. Monotonia se stabilește analizând semnul derivatei întâi. Această tehnică este esențială în analiza matematică.
Concepte fundamentale
- Definiție O funcție f este crescătoare pe un interval dacă f'(x) ≥ 0 și descrescătoare dacă f'(x) ≤ 0. Punctele critice sunt unde f'(x) = 0 sau nu există.
- Metodă de lucru 1. Calculează f'(x). 2. Rezolvă f'(x) = 0 pentru puncte critice. 3. Studiază semnul lui f'(x) pe intervalele determinate. Exemplu: f(x)=x³-3x, f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1).
- Interpretare Pentru f'(x)>0, funcția crește; pentru f'(x)<0, funcția scade. La f(x)=x³-3x, crește pe (-∞,-1)∪(1,∞) și scade pe (-1,1).
Exemplu aplicativ
- 1 Funcția f(x) = x²e⁻ˣ, x ∈ R.
- 2 Derivata f'(x) = 2xe⁻ˣ + x²(-e⁻ˣ) = e⁻ˣ(2x - x²) = e⁻ˣ x(2 - x).
- 3 Puncte critice f'(x)=0 ⇒ e⁻ˣ x(2-x)=0 ⇒ x=0 sau x=2 (e⁻ˣ >0 mereu).
- 4 Semnul derivatei Pe (-∞,0): f'(x) negativ (ex: x=-1, e⁻ˣ>0, -1*(3)<0). Pe (0,2): pozitiv (ex: x=1, 1*(1)>0). Pe (2,∞): negativ (ex: x=3, 3*(-1)<0).
- 5 Monotonie f descrescătoare pe (-∞,0], crescătoare pe [0,2], descrescătoare pe [2,∞).
Verifică semnul derivatei pe fiecare interval cu un punct de test.