Matematică Algebră
Studiul monotoniei functiilor cu derivata
Studiul monotoniei funcțiilor cu derivata determină intervalele pe care o funcție este crescătoare sau descrescătoare. Dacă f'(x)>0 pe un interval, funcția crește; dacă f'(x)<0, ea descrește. De exemplu, pentru f(x)=x², f'(x)=2x, deci crește pe (0,∞) și descrește pe (-∞,0).
Criterii pentru monotonie
- Funcție crescătoare f este crescătoare pe un interval I dacă f'(x)≥0 pentru orice x∈I, cu egalitate doar în puncte izolate.
- Funcție descrescătoare f este descrescătoare pe I dacă f'(x)≤0 pe I, cu aceeași observație pentru egalitate.
- Puncte critice Punctele unde f'(x)=0 sau f'(x) nu există sunt candidate pentru extreme sau schimbări de monotonie.
Pași pentru a studia monotonie unei funcții
- 1 Calculează derivata întâi Găsește f'(x). Exemplu: f(x)=x³-3x, f'(x)=3x²-3.
- 2 Rezolvă ecuația f'(x)=0 3x²-3=0 dă x²=1, deci x=-1 și x=1. Acestea sunt puncte critice.
- 3 Analizează semnul lui f'(x) pe intervale Testează valori: pentru x<-1, f'(x)>0 (crescătoare); între -1 și 1, f'(x)<0 (descrescătoare); pentru x>1, f'(x)>0 (crescătoare).
Folosește un tabel de semn pentru f'(x) pentru a vizualiza intervalele de monotonie și a identifica extremele locale.