Matematică Algebră
Relatiile lui Viete exercitii cu parametri
Relațiile lui Viète exprimă legătura dintre rădăcinile x₁ și x₂ ale ecuației de gradul 2 ax² + bx + c = 0 și coeficienții: x₁ + x₂ = -b/a și x₁·x₂ = c/a. În exercițiile cu parametri, folosești aceste relații pentru a găsi valori necunoscute sau condiții.
Aplicații cu parametri
- Găsirea parametrului Dacă se cunosc rădăcinile, înlocuiești în relații pentru a calcula parametrul. Exemplu: Pentru ecuația x² - mx + 6 = 0 cu x₁ + x₂ = 5, din Viète: 5 = m, deci m = 5.
- Condiții pentru rădăcini Folosești relațiile pentru a impune condiții, cum ar fi x₁ = 2x₂. Exemplu: Din x₁ + x₂ = -b/a și x₁·x₂ = c/a, rezolvi sistemul.
- Verificare existență Pentru a avea rădăcini reale, Δ ≥ 0; combină cu Viète pentru a găsi domenii ale parametrilor.
Exercițiu rezolvat
- 1 Enunț Pentru ecuația x² + (k-1)x + 2k = 0, află k astfel încât x₁·x₂ = 3.
- 2 Aplică Viète Din x₁·x₂ = c/a = 2k/1 = 2k. Setează 2k = 3, deci k = 1.5.
- 3 Verifică Δ Δ = (k-1)² - 4·1·2k = (1.5-1)² - 8·1.5 = 0.25 - 12 = -11.75 < 0, deci nu există rădăcini reale. Condiția suplimentară Δ ≥ 0 arată că nu există k real care să satisfacă ambele.
Întotdeauna verifică dacă rădăcinile sunt reale folosind Δ când lucrezi cu parametri.