Matematică Algebră
Radacinile unui polinom teorema lui Bezout
Teorema lui Bézout afirmă că restul împărțirii unui polinom f(x) la binomul (x-a) este egal cu f(a). Dacă a este o rădăcină a polinomului, atunci f(a)=0, deci (x-a) divide polinomul f(x). Această teoremă oferă o legătură directă între rădăcini și factorizarea polinoamelor.
Enunțul teoremei
- Forma generală Pentru un polinom f(x) și un număr a, restul împărțirii lui f(x) la (x-a) este f(a).
- Cazul rădăcinii Dacă a este rădăcină (f(a)=0), atunci (x-a) este factor al polinomului: f(x)=(x-a)·g(x).
- Consecință Un polinom de grad n are cel mult n rădăcini reale distincte.
Aplicații practice
- 1 Pasul 1: Verificare rădăcină Calculează f(a) pentru a verifica dacă a este rădăcină. Exemplu: f(x)=x²-3x+2, f(1)=1-3+2=0, deci 1 este rădăcină.
- 2 Pasul 2: Factorizare Dacă a este rădăcină, împarte polinomul la (x-a) pentru a obține factorizarea. Pentru f(x)=x²-3x+2 și rădăcina 1, împărțirea dă (x-1)(x-2).
- 3 Pasul 3: Găsire rădăcini Folosește teorema pentru a testa valori simple (ca 0, ±1, ±2) în ecuații polinomiale.
Pentru exerciții, începe prin a calcula f(a) pentru valori mici; dacă obții zero, ai găsit o rădăcină și poți factoriza polinomul.