Matematică Algebră
Radacini complexe ale polinoamelor
Rădăcinile complexe ale polinoamelor sunt soluții ale ecuației polinomiale care aparțin mulțimii numerelor complexe. Pentru polinoame cu coeficienți reali, rădăcinile complexe apar întotdeauna în perechi conjugate. Acest lucru rezultă din teorema fundamentală a algebrei.
Proprietăți cheie
- Conjugarea Dacă a + bi este rădăcină (cu a, b reali, i = √-1), atunci a - bi este și ea rădăcină.
- Teorema fundamentală Orice polinom de grad n ≥ 1 are exact n rădăcini complexe, numărate cu multiplicitatea lor.
- Multiplicitatea O rădăcină poate apărea de mai multe ori; de exemplu, (x - 1)^2 = 0 are rădăcina 1 cu multiplicitatea 2.
Exemplu de calcul
- 1 Pasul 1 Consideră polinomul x^2 + 4 = 0. Ecuația este x^2 = -4.
- 2 Pasul 2 Extrage rădăcina pătrată: x = ±√(-4) = ±2i.
- 3 Pasul 3 Rădăcinile sunt 2i și -2i, o pereche conjugată.
- 4 Pasul 4 Polinomul se factorizează ca (x - 2i)(x + 2i) = x^2 + 4.
Pentru polinoame reale, verifică întotdeauna perechile conjugate la găsirea rădăcinilor complexe.