Matematică Algebră
Puncte de extrem local ale unei functii
Punctele de extrem local ale unei funcții sunt punctele în care funcția atinge un maxim sau minim local. Acestea se găsesc unde derivata întâi este zero sau nu există, iar semnul derivatei se schimbă. De exemplu, pentru f(x)=x^2, x=0 este un minim local deoarece f'(0)=0 și derivata trece de la negativ la pozitiv.
Condiții pentru extreme
- Derivata nulă Dacă f este derivabilă în a și a este punct de extrem, atunci f'(a)=0.
- Schimbarea semnului Un maxim local apare când derivata trece de la pozitiv la negativ, iar un minim când trece de la negativ la pozitiv.
- Derivata a doua Dacă f''(a)<0, a este maxim local; dacă f''(a)>0, a este minim local.
Exemplu numeric
- 1 Pasul 1: Găsește puncte critice Pentru f(x)=x^3-3x, f'(x)=3x^2-3. Setează f'(x)=0 → x=±1.
- 2 Pasul 2: Analizează semnul derivatei Pentru x< -1, f'(x)>0; între -1 și 1, f'(x)<0; pentru x>1, f'(x)>0.
- 3 Pasul 3: Determină extremele La x=-1, derivata trece de la pozitiv la negativ → maxim local f(-1)=2. La x=1, trece de la negativ la pozitiv → minim local f(1)=-2.
Verifică atât derivatele, cât și schimbarea semnului pentru a confirma extremele.