Matematică Algebră
Operatii cu numere complexe forma trigonometrica
Operațiile cu numere complexe în forma trigonometrică folosesc modulul și argumentul pentru a simplifica calculele. Un număr complex z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z| ≥ 0 este modulul, iar θ = arg(z) este argumentul.
Înmulțirea și împărțirea
- Înmulțirea Pentru z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) și z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), z₁·z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]. Exemplu: z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°), z₂ = 3(cos 60° + i sin 60°), produsul are modulul 6 și argumentul 90°.
- Împărțirea z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(θ₁-θ₂) + i sin(θ₁-θ₂)], cu r₂ ≠ 0. Pentru exemplul anterior, z₁/z₂ are modulul 2/3 și argumentul -30°.
- Ridicarea la putere zⁿ = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)], formula lui Moivre. Pentru z = 2(cos 45° + i sin 45°) și n=2, z² = 4(cos 90° + i sin 90°) = 4i.
Exemple numerice
- 1 Pasul 1: Convertire în formă trigonometrică Pentru z = 1 + i√3, r = √(1² + (√3)²) = 2, θ = arctan(√3/1) = 60°, deci z = 2(cos 60° + i sin 60°).
- 2 Pasul 2: Înmulțire Dacă w = √2(cos 45° + i sin 45°), atunci z·w = 2√2[cos(60°+45°) + i sin(105°)] = 2√2(cos 105° + i sin 105°).
- 3 Pasul 3: Aplicație În electronică, înmulțirea în formă trigonometrică simplifică analiza semnalelor.
Memorează formulele pentru înmulțire și împărțire; ele reduc calculele la operații cu module și argumente.